BIENVENIDA

. . .. . . acá encontrarás diversos materiales relacionados con el curso de matemáticas 2 que actualmente dicto en la Universidad Metropolitana de Caracas . . .

miércoles, 27 de abril de 2016

SUMAS DE RIEMANN - TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO


Por favor, los estudiantes de la Sección 01 (horario 7:00 a.m.) quisiera comenzar la clase del próximo lunes 02  15 minutos antes, es decir, a las 
6:45 a.m. 



Comencemos con algo de historia:



En la clase de hoy:
1. Después de resolver un par de problemas relativos al temario de Ecs. Dif., comenzamos el estudio del concepto de "Sumas de Riemann". Los elementos fundamentales que revisamos, relativos a éste concepto, fueron los siguientes:
  •  La consideración de una partición del intervalo en estudio según el orden de la Suma de Riemann.
  • La consideración de un punto representante para cada uno de los subintervalos obtenidos en la partición, los denominados puntos muestra.
  • La consideración de que la función involucrada se asume constante en cada subintervalo y dada por su valor en el punto muestra respectivo.
  • El planteamiento de la Suma de Riemann.



2. Éstos conceptos fueron revisados mediante la resolución de las partes (a) y (b) del "Ejemplo 2" que aparece en el archivo "ClASE 4 (Sumas de Riemann - T F C 1516-3)" que se encuentra en el gadget "MATERIALES CORTE 1" en la carpeta "CLASES CORTE 1" de este blog.

3. Luego consideramos, en el ejemplo mencionado, una tercera parte (c) donde abordamos el cálculo exacto de la cantidad de agua que escapa del recipiente durante los primeros 2 minutos; lo cual nos llevó a considerar una partición de “n” subintervalos y al límite cuando "n" tiende al infinito de la una Suma de Riemann de orden "n".

4. Finalmente establecimos que el límite referido se obtiene aplicando el llamado Teorema Fundamental del Cálculo (T.F.C.).

5. De acuerdo a lo estudiado en la clase anterior (la del pasado lunes), la parte (c) del ejemplo se puede resolver también mediante el planteamiento de una ecuación diferencial.

Para efectos de practicar este nuevo temario

  1. Aborden la revisión del "Ejemplo 3" de la "Clase 4" el cual quedó pendiente, así como los dos ejercicios que asigno como tarea en el mismo archivo de la Clase 4.
  2. Revisen el Ejemplo – F  del material Ejer-plos 1.
  3. Hagan como mínimo los Ejercicios 30, 31 y 50  del material Ejer-plos 1.
  4. Si quieren ejercitar más, centren el esfuerzo sólo en los Ejercicios 1 al 14, 17 al 21, 23 al 26, 28 al 31  del material Ejer-plos 1.
A propósito del temario en estudio, y continuando con algo de historia, les presento a:


                                              
                               Georg Friedrich Bernhard Riemann (Alemania 1826 - Italia 1866)


Georg Friedrich Bernhard Riemann fue un importante matemático alemán del siglo XIX que realizó trascendentes contribuciones en ramas de la matemática como el Análisis y la Geometría diferencial, que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la Teoría de la Relatividad General.


En la clase del próximo lunes:
veremos cómo calcular el área de una región plana mediante el planteamiento de integrales definidas.

A trabajar duro!!




lunes, 25 de abril de 2016

ECUACIONES DIFERENCIALES


En la clase de hoy revisamos:

conceptos básicos relacionados con las Ecuaciones diferenciales tales como:
  • Definición de Ecuación Diferencial. 
  • Definición de "Condición Inicial".
  • Definición de "Problema de Valor Inicial" (P.V.I.)
  • Definición de "Solución General de una E.D."

mediante la resolución de ejemplos concretos que podrán encontrar en el archivo 


"ClASE 3 (Ecs Dif - Aplicaciones 1516-3)" 

el archivo en mención lo conseguirán en el gadget "MATERIALES CORTE 1" de este blog en la carpeta "CLASES CORTE 1".



En el Ejemplo 4 del archivo antes referido revisamos: 
  • Un típico "Problema de derrame", problemática de especial importancia dentro de nuestro curso.
  • La derivada como razón de cambio y el significado de su signo dentro del contexto considerado.
  • Les pedí que resolvieran el mismo problema considerando como variable aquella que mide la cantidad de líquido fuera del recipiente... deberán obtener los mismos resultados.


En relación al Ejemplo 5 de la clase:

  • A los estudiantes de la sección 1 les queda de tarea completo.
  • A los estudiantes de la sección 4, les quedó pendiente la parte final del problema... en este problema son de especial interés conceptos tales como:
                                        Proporcionalidad directa
                                        Proporcionalidad inversa
                                        Derivada como razón de cambio. 

      En el "Resumen 2" tienen una síntesis teórica relacionada con 
      estos conceptos. 


Para efectos de practicar lo estudiado hoy sugiero:
  • Hacer la tarea que aparece en el archivo antes referido (esto es lo mínimo que deberán trabajar).
  • Revisar los Ejemplos B y C de EJER-PLOS 1 y los siguientes Ejercicios de EJER-PLOS 1:


13, 14, 48, 50, 52 y 53.



  • Del material EJER-PLOS 1 revisar los Ejercicios:


18 al 26, 43, 44, 47, 49, 57, 59, 62, 64, 69 y 71.


A continuación un video  para reforzar  diversos aspectos tocados durante la clase...



















miércoles, 20 de abril de 2016

BIENVENIDA TRIMESTRE 1516 3 - ANTIDERIVADA Y MÉTODO DE SUSTITUCIÓN


Saludos a mis nuevos estudiantes de Matemáticas II de la Universidad Metropolitana...

Para efectos de comenzar con buen pie nuestro curso de Matemáticas II revisen este blog y los materiales del curso de Matemáticas II para el nuevo período 1516-3...

Todos los archivos ya fueron actualizados, los encontrarán en este sitio en los gadgets de la columna derecha.

En el gadget "CRONOGRAMA Y LISTA" tienen a disposición el


"Cronograma Matemáticas II (1516-3)"


con todos los detalles relativos al plan de evaluación del curso; así mismo podrán encontrar la lista de los estudiantes inscritos a la fecha en los archivos:


"Lista Matematicas II Seccion 1  (1516-3)"


"Lista Matematicas II Sección 4  (1516-3)"


por favor verifiquen que aparecen registrados en alguna de estas listas y de no ser así, pasen por control de estudios a regularizar esa situación.

Por favor, traten de tener a mano el "Resumen 1", material que encontrarán en este blog en los archivos disponibles en la columna derecha, en el gadget "RESÚMENES"; y que será utilizado constantemente en el aula.


Así mismo, es importante que tengan a disposición para consulta rápida, el material "Ejer-plos 1", el cual encontrarán en el gadget "MATERIALES CORTE 1" de este blog.


El día de hoy:

  1. Revisamos el concepto de la "Antiderivada más general de una función", definición que podrán encontrar en el "Resumen 1".
  2. Establecimos cómo verificar si una función es o no la antiderivada de otra. 
  3. Calculamos la antiderivada más general de varias funciones concretas mediante la aplicación del formulario del resumen 1.
  4. Revisamos cómo aplicar el llamado "Método de Sustitución" para buscar la antiderivada más general de una función.
  5. Lo antes indicado fue desarrollado mediante la resolución de ejemplos concretos todos los cuales aparecen en el archivo "CLASES 1 y 2 (Antiderivada y Método de Sustitución)" el cual podrán encontrar en el gadget "MATERIALES CORTE 1" en la carpeta "CLASES CORTE 1" 

A modo de tarea:
  1. Resolver los Ejemplos 4b, 4c  y 5 del archivo el archivo "CLASES 1 y 2 (Antiderivada y Método de Sustitución)"
  2. Enfrentar la tarea que aparece en el archivo el archivo "CLASES 1 y 2 (Antiderivada y Método de Sustitución)"
  3. Enfrentar los ejercicios de la "Parte-i" del archivo "Guia Integrales Corte 1.pdf" que podrán encontrar en el gadget "MATERIALES CORTE 1", en la carpeta "TRABAJO AUTÓNOMO CORTE 1".
  4. Enfrenten el Ejercicio 2 de Ejer-plos 1 que encontrarán en el gadget "MATERILAES CORTE 1".
  5. Enfrentar los ejercicios de la "Parte-ii" del archivo "Guia Integrales Corte 1.pdf" que podrán encontrar en el gadget "MATERIALES CORTE 1", en la carpeta "TRABAJO AUTÓNOMO CORTE 1".


Algunos videos de apoyo:

El siguiente video les muestra la solución de un ejemplito muy a tono con lo revisado durante nuestra primera clase... los reto a que al iniciar el video, se planteen el problema propuesto por el chamo, lo paren, y traten de hacerlo antes de ver la solución que se propone....




Y acá, otro video para complementar.






Y acá, otro...





Trabajar duro desde el principio será la clave del éxito, así que a darle!!

viernes, 8 de abril de 2016

LOS INGENIEROS Y LA MATEMÁTICA


En el sitio: 



aparece un artículo cuyo autor, Leonel Morales Díaz, trata de dar respuesta a la pregunta ¿por qué la matemática y en particular el Cálculo, son importantes en los estudios de ingeniería?... lo transcribo a continuación... háganse el favor de leerlo completo.



Parte I
Tarde o temprano teníamos que hablar de este tema. No es posible escribir un blog sobre cuestiones de ingeniería sin tocar eventualmente el tema de las matemáticas. También ayuda el hecho de que en el segundo semestre de 2009 di un curso de matemáticas precisamente, así que tuve tiempo para reflexionar sobre esta cuestión.


Fue un curso de Matemática Discreta, donde se abordan temas sobre los conjuntos numerables y la teoría y las técnicas de conteo. Esta matemática es fundamental para ciencias de la computación y es válido reconocer que mucho del desarrollo de la informática moderna tiene sus bases en los conceptos que se estudian en esta rama de la ciencia de las cantidades.


Y como siempre los alumnos preguntan ¿y esto para qué nos va a servir? El catedrático se ve cuestionado no sólo en la utilidad de los conocimientos impartidos sino en la mismísima motivación para siquiera interesarse por estudiar estos temas.




Así que, reconociendo de antemano que será necesario tocar temas un poco arduos y probablemente polémicos, voy a abordar el tema de las matemáticas en ingeniería.



Sin más: el ingeniero debe estudiar matemáticas. No hay otra manera de formar adecuadamente el pensamiento analítico, el rigor demostrativo, el sentido de la exactitud – y el de la aproximación aceptable también –, la objetividad numérica, la propensión a la medición, y tantas otras cualidades de los buenos ingenieros.



El punto a veces es entonces ¿qué matemática? Porque hay tantas ramas en esta ciencia que los diseñadores de planes de estudio en ingeniería pasan verdaderos problemas para decidir qué sí y qué no se incluirá en la carrera.



Por siglos se ha considerado que el cálculo – diferencial e integral – es básico en ingeniería. Pero ¿cuántos ingenieros conocemos que se pasen el día haciendo derivadas y resolviendo integrales en su trabajo? Además de los que son profesores universitarios, la respuesta es pocos (poquísimos).



Lo interesante del asunto es que quienes más desarrollan las áreas técnicas de la ingeniería durante su vida profesional, o quienes buscan especializaciones más avanzadas o estudios de doctorado, son precisamente quienes requieren del cálculo como herramienta cotidiana.



Entonces, de alguna forma se puede decir que quienes encarnan el ideal del ingeniero técnico, enfocado en solucionar los más difíciles problemas de ingeniería, son también quienes más utilizan las herramientas matemáticas.


La respuesta a la pregunta es entonces bien sencilla. ¿Para qué le sirve la matemática al ingeniero? Si se dedicará a administración y gerencia, las habilidades de análisis, demostración, cálculo y procedimientos matemáticos le aportarán un importante valor a sus productos intelectuales, que serán más difíciles de conseguir para profesionales de otras ramas. Y si decide enfocar su ejercicio profesional en solucionar problemas técnicos de “ingeniería pura”, las matemáticas serán su pan diario.

Las otras preguntas son un poco más complicadas. ¿Qué matemática incluir en el pensum de estudios? ¿Qué matemáticas van mejor con qué ramas de la ingeniería? ¿Cuáles son las que son tan fundamentales que no pueden disculparse en ningún ingeniero? Dejaremos estas preguntas para el siguiente artículo.


Parte II
Comentábamos en el artículo anterior que por siglos el cálculo ha sido una parte integral de la vida de los estudiantes de ingeniería. Pareciera que se trata de un sustrato ineludible para todas las ramas de ingeniería.

No creo que sea posible disculpar de su estudio a los ingenieros mecánicos, eléctricos, químicos, agrónomos, civiles, entre otros.

Pero algunas ramas modernas de la ingeniería, que se derivan o se relacionan fuertemente con la revolución tecnológica de la segunda mitad del siglo XX – la invención del transistor, el desarrollo de las computadoras digitales, los lenguajes de programación, etc. – parecieran mejor servidas si enfatizan sobre todo la matemática que se relaciona con los conjuntos numerables o contables: las matemáticas discretas.


Ingenieros de sistemas, informáticos, electrónicos, de telecomunicaciones, etc., tienden a analizar el mundo desde una perspectiva discreta y amparados por tecnologías digitales.



Se puede argumentar, también desde la física cuántica moderna, que en última instancia las variables discretas modelan de forma más coherente (que no necesariamente es lo mismo que más exacta, más adecuada o más conveniente) el universo y sus fenómenos que las variables continuas o analógicas.

También se puede argumentar que el ingeniero hoy en día – y aquí no importa de qué rama de la ingeniería se hable – utiliza sobre todo técnicas y métodos numéricos, que son aproximados y están basados en algoritmos que se ejecutan en computadoras digitales.

Esto quiere decir que a pesar de que para muchos problemas comunes está disponible una solución analítica exacta, la rapidez y amplia disponibilidad de las herramientas digitales (computadoras) hacen que se acuda a la solución aproximada preferentemente.



Por ejemplo, si se necesita calcular la potencia de entrada para una bomba de agua que bombea hacia un pozo de petróleo, se puede obtener la solución exacta calculando afanosamente o se puede hacer uso de un software que proporciona la respuesta en base a un conjunto de parámetros estándar, que es más rápido y tiene menor probabilidad de error.

La matemática aplicada que el ingeniero aprendió y que le permitiría resolver ese problema particular se queda sin uso inmediato.

Ahora bien, decía el Dr. Antonio Guillot que la diferencia entre el ingeniero y el maestro de obras es que este último sólo sabe que la mezcla fragua, pero el ingeniero debe saber por qué fragua. El maestro de obras tiene un conocimiento que le resulta muy eficaz para realizar un determinado conjunto de obras, pero cuando se excede ese grupo, en obras donde la incertidumbre sobre el procedimiento correcto es mayor, entonces se necesita el conocimiento más avanzado del ingeniero, no porque éste sepa exactamente cuál es la forma correcta de hacer la obra, sino porque se asume que tiene las herramientas cognoscitivas necesarias para encontrar el mejor procedimiento.

Lo que esto quiere decir es que esa matemática “no utilizada” en realidad está ahí a la espera de encontrar el momento justo en que debe ser aplicada, no necesariamente de una forma operativa sino como el reconocimiento de un patrón de cálculo que requiere medidas especiales para producir resultados coherentes.

Hablaremos de este “sexto sentido matemático” en el próximo artículo.





Parte III
Decíamos en el artículo anterior que el ingeniero dispone por su formación, de un bagaje de conocimientos matemáticos que persisten latentemente en su intelecto. Están a la espera de saltar sobre el problema ideal para ellos, de la misma forma en que una ficha de dominó está lista en las manos del jugador experto para ser utilizada en el momento justo cuando el juego ha alcanzado una determinada condición, o como la pieza de un rompecabezas que parece no encajar en ningún lugar al iniciar el armado, pero que luego se ve que ajusta perfectamente y ayuda a entender la imagen completa.

Ahora bien, como sucede con los atletas, que deben ejercitar todos los músculos de su cuerpo, aunque no tengan una conciencia clara de cuál es el papel de cada uno en las competencias, también el ingeniero no debe conformarse con aprender “en teoría” la matemática, ni siquiera con “entenderla bien”. Es necesario ejercitarla ampliamente.

De ahí se deriva el constante bombardeo de hojas de trabajo, ejercicios, tareas, problemas, exámenes, etc., con el que los jóvenes estudiantes de ingeniería son a veces mortificados hasta el agotamiento.

Todo para asegurar que cuando la identidad trigonométrica, la técnica de derivación o integración, la función biyectiva o la demostración matemática adecuada sean requeridas estén listas y prestas en la caja de herramientas mental del ingeniero.

Y de la misma forma en que en el atleta los ejercicios que realiza en sus mejores años deportivos dejan una huella permanente en su constitución corporal aunque posteriormente cambie sus hábitos y actividades por otros más sedentarios, en el ingeniero también queda una huella intelectual de todos esos problemas y retos de análisis matemático que realizó en sus años de formación y conforman una especie de sexto sentido con el que percibe de forma ligeramente diferente los hechos y situaciones que se le presentan.

El ingeniero busca llevar los problemas al plano numérico con la dimensión y la medida, y con ello lograr la optimización, la eficiencia, la eliminación del desperdicio, y el funcionamiento ideal.

Ojo que al decir esto no pretendo afirmar una supuesta superioridad de las profesiones de ingeniería sobre las demás, de ninguna forma. Cada rama del saber y sus profesionales aportan su particular perspectiva a cada problema y situación de la vida humana y estas son complementarias, pero precisamente por eso es importante que cada cuál sepa lo que se espera que aporte.

También hay que hacer una distinción específica respecto de los matemáticos y físicos “puros”. A pesar de tener énfasis parecidos en el análisis numérico, a los ingenieros se les exige la constante aplicación práctica de sus conocimientos, el conocimiento y uso de las técnicas actuales, el desarrollo o implementación de tecnología siempre que haga falta y la preferencia de la solución particular sobre la general si esta última no es necesaria para resolver el problema que se tiene entre manos. Cuando físicos y matemáticos se emplean en la industria en labores de ingeniería usualmente también se adhieren a estos parámetros, mientras que si lo hacen en actividades de investigación entonces privilegian la búsqueda de soluciones generales. Claro que esto se podría matizar un poco y explicar de otra forma, pero para las intenciones de este artículo, esta exposición debería ser suficiente. De hecho ahondar entre la diferencia entre científicos e ingenieros merece un artículo especial y de alguna forma ya fue intentado en este blog con el chiste del matemático, el físico y el ingeniero.

Podrían hacerse muchas más observaciones sobre el uso de las matemáticas en la ingeniería, de momento dejaremos aquí estas reflexiones, sin embargo, debido a que toca la naturaleza misma de la profesión, seguramente volveremos sobre ellas en el futuro.



Finalmente, mis deseos porque tenga éxito en el resto de sus estudios.