BIENVENIDA

. . .. . . acá encontrarás diversos materiales relacionados con el curso de matemáticas 2 que actualmente dicto en la Universidad Metropolitana de Caracas . . .

miércoles, 28 de enero de 2015

SOBRE EL PARCIAL 1


Por favor revisen con detenimiento la solución al Parcial 1 que publiqué en este blog...

Podrán encontrar el archivo respectivo en el gadget titulado "PARCIALES TRIMESTRE EN CURSO" ...columna derecha de esta página, hacia el final...hacia abajo, en la carpeta "Parcial 1".


Si notan algún error en la clave, por favor háganmelo saber vía mail para corregirlo, si es el caso.

En cuanto corrija, publico las notas en este sitio.


Deseo que hayan tenido éxito.

miércoles, 21 de enero de 2015

CÁLCULO DE ÁREAS - CONTINUACIÓN


En la clase de hoy:

  • Continuamos con el tema del cálculo del área de una región plana: en particular revisamos cómo plantear integrales definidas particionando tanto en intervalos sobre el eje "y" como sobre el eje "x" y las posibles ventajas de un planteamiento respecto a otro.

  • Lo antes indicado fue ilustrado mediante la resolución del "Ejemplo 2" corrspondiente al archivo "CLASE 6 (Calculo de áreas - continuación)" que podrán encontrar en el gadget "MATERIALES CORTE 1".

  • Así mismo, iniciamos la resolución del "Ejemplo 1" del archivo "CLASE 6 (Calculo de áreas - continuación)" pero no lo concluimos, sugiero que enfrenten este ejemplo como tarea, así como el "Ejemplo 2" de este mismo material.
 

Con el tema del cálculo de áreas, hemos concluido el temario a evaluar en el Examen Parcial 1, el cual realizaremos el próximo miércoles 28 de enero de 2015.

 
Sugiero nuevamente que estudien cuidadosamente el Ejemplo -D del material Ejer-plos 1 y traten de enfrentar los ejercicios 17 al 26 de este mismo material.

Por favor enfrenten contra reloj, a modo de simulacro,
el Parcial 1 del trimestre pasado.


A trabajar con disciplina para que tengan éxito en el Parcial 1.  

lunes, 19 de enero de 2015

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA


En la clase de hoy:

  • Comenzamos precisando diversos elementos notacionales relacionados con el concepto de la "Integral Definida".
  • Resolvimos el Ejercicio # 31 del material "Ejer-plos 1", ejercicio que había dejado pendiente a modo de tarea en el archivo "ClASE 4 (Sumas de Riemann - T F C  2015)"

A continuación:
 
  • Revisamos cómo plantear una integral definida que permita calcular el área de una región plana delimitada por curvas en un sistema de coordenadas cartesiano.
  • Ilustramos lo antes referido, considerando la región del plano delimitada por y = 4x - x2 y y = 0.
  • Para esta región nos propusimos:
          1.- El cálculo aproximado del área mediante una Suma de Riemann de orden 5.
          2.- El  cálculo exacto del área de la región, planteando una integral definida con "x" en [0,4].


  • Quedó pendiente resolver un segundo ejemplo donde deberán considerar la región del plano delimitada por: y = x + 2    y   x =  y2  -9  
  • Para esta región propongo:
           1.- El cálculo aproximado del área mediante una Suma de Riemann de orden 10, particionando en el
                intervalo de las "y" [-4,3]... 
          2.-El cálculo exacto del área mediante el planteamiento de una integral definida en el intervalo
              de las "y" [-4,3].

En el gadget "MATERIALES CORTE 1" les coloqué el archivo "ClASE 5 (Calculo de áreas).pdf" el cual contiene el análisis en detalle de lo antes referido y otra solución del segundo ejemplo, particionando en el intervalo de las "x" [-9,7]... por favor revisen ésta última solución con detenimiento.
 
 
Estudien cuidadosamente el Ejemplo -D del material Ejer-plos 1 y traten de enfrentar los ejercicios 17 al 26 de este mismo material.


El siguiente video puede servir para complementar los elementos relativos al cálculo de áreas de regiones planas mediante integrales definidas...


.




Tengan en cuenta que el profesor que hace la presentación en el video, no justifica la integral que propone (la plantea de forma directa) y en nuestro caso, tal planteamiento debe ser hecho, es decir, se espera que ustedes justifiquen, mediante Sumas de Riemann de orden "n", la integral definida que permite el cálculo del área... los invito pues, a que complementen lo que nuestro amigo virtual propone.

miércoles, 14 de enero de 2015

SUMAS DE RIEMANN - TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO


Comencemos con algo de historia:

 


En la clase de hoy:
 

1.     Después de resolver el "Ejercicio 29" del material "Ejer-plos 1", ejercicio relativo al tema de Ecs. Dif., comenzamos el estudio de un temario nuevo, el correspondiente a "Sumas de Riemann"... los elementos fundamentales relativos a éste concepto revisados en clase fueron los siguientes:

 

·       La consideración de una partición del intervalo en estudio según el orden de la Suma de Riemann.



·      La consideración de un punto representante para cada uno de los subintervalos obtenidos en la partición, los denominados puntos muestra.

·      La consideración de que la función involucrada se asume constante en cada subintervalo y dada por su valor en el punto muestra respectivo.

·        El planteamiento de la Suma de Riemann.

2.    Éstos conceptos fueron revisados mediante la resolución de las partes (a) y (b) del "Ejemplo 2" que aparece en el archivo "ClASE 4 (Sumas de Riemann - T F C)" que se encuentra en el gadget "MATERIALES CORTE 1" en la carpeta "CLASES CORTE 1" de este blog.
 
3.     Luego consideramos, en el ejemplo mencionado, una tercera parte (c) donde abordamos el cálculo exacto de la cantidad de agua que escapa del recipiente durante los primeros 2 minutos; lo cual nos llevó a considerar una partición de “n” subintervalos y al límite cuando "n" tiende al infinito de la una Suma de Riemann de orden "n".

4.     Finalmente establecimos que el límite referido se obtiene aplicando el llamado Teorema Fundamental del Cálculo (T.F.C.).

5.     De acuerdo a lo estudiado en la clase anterior (la del pasado lunes), la parte (c) del ejemplo se puede resolver también mediante el planteamiento de una ecuación diferencial.

 
Para efectos de practicar este nuevo temario, aborden la revisión del "Ejemplo 3" de la "Clase 4" el cual quedó pendiente... así mismo, sugiero que del material Ejer-plos 1:

1.     Revisen el Ejemplo – F.

2.     Hagan como mínimo los Ejercicios 30, 31 y 50.

3.     Si quieren ejercitar más, centren el esfuerzo sólo en los Ejercicios 1 al 14, 17 al 21, 23 al 26, 28 al 31.

No hacer los ejercicios: 15,16, 22, 27, 32, 33, 34; ni revisar el Ejemplo – E.

 
A propósito del temario en estudio, y continuando con algo de historia, les presento a:

 

                                             
 
                               Georg Friedrich Bernhard Riemann (Alemania 1826 - Italia 1866)


 
Georg Friedrich Bernhard Riemann fue un importante matemático alemán del siglo XIX que realizó trascendentes contribuciones en ramas de la matemática como el Análisis y la Geometría diferencial, que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la Teoría de la Relatividad General.


En la clase del próximo lunes veremos cómo calcular el área de una región plana mediante el planteamiento de integrales definidas.

A trabajar duro!!

 

lunes, 12 de enero de 2015

ECS. DIFERENCIALES - CONTINUACIÓN


En la clase de hoy:
 
Continuamos con el tema de Ecuaciones diferenciales mediante la resolución de tres ejemplos concretos que podrán encontrar en el archivo "ClASE 3 (Ecs Dif - Aplicaciones 2015)"... el archivo en mención lo conseguirán en el gadget "MATERIALES CORTE 1" de este blog en la carpeta "CLASES CORTE 1".


Insistimos en conceptos introducidos la clase anterior y en nuevos términos tales como: 
  • Ecuación Diferencial.
  • Solución General de una Ecuación Diferencial.
  • Solución particular de una Ecuación Diferencial.
  • Problema de Valor Inicial (P.V.I.)


En el Ejemplo 3 del archivo antes referido revisamos 
  • Un típico "Problema de derrame", problemática de especial importancia dentro de nuestro curso.
  • La derivada como razón de cambio y el significado de su signo dentro del contexto considerado.
  • Les pedí que resolvieran el mismo problema considerando la variable "W" como aquella que mide la cantidad de litros de agua fuera del recipiente y comentamos que deben llegar a los mismos resultados.
Para efectos de practicar este tema sugiero que trabajen el Ejemplo - C de EJER-PLOS 1 y los Ejercicios de EJER-PLOS 1:
13, 14, 48, 50, 52 y 53.
 

 
En relación al Ejemplo 4 del mismo archivo revisamos adicionalmente conceptos tales como:
  • Proporcionalidad directa
  • Proporcionalidad inversa
  • Derivada como razón de cambio. 
En el "Resumen 2" tienen una síntesis teórica relacionada con estos concepto. 

Para efectos de practicar este tema sugiero que trabajen del material EJER-PLOS 1 los Ejercicios:
 
18 al 26, 43, 44, 47, 49, 57, 59, 62, 64, 69 y 71.

jueves, 8 de enero de 2015

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN - INTRODUCCIÓN Ecs. Dif.



En la clase de ayer:

Revisamos el llamado "Método de Sustitución" mediante la resolución de ejemplos específicos que podrán encontrar en el archivo "CLASE 2 (Método de Sustitución - Aplicaciones)" localizable en el gadget "MATERIALES CORTE 1" en la carpeta "CLASES CORTE 1"..
 
Para practicar lo correspondiente a este temario sugiero que trabajen:
 
  • El Ejercicio 2 de Ejer-plos 1 que encontrarán en el gadget "MATERILAES CORTE 1".
  • El Ejercicio II del archivo "GUIA INTEGRALES.pdf" que encontrarán en el gadget "MATERILAES CORTE 1", en la carpeta "TRABAJO AUTÓNOMO".  
  • Resuelvan los "Ejemplos 5 al 12" del archivo "CLASE 2 (Método de Sustitución - Aplicaciones)" que quedaron a modo de tarea.


Así mismo, revisamos conceptos básicos relacionados con las Ecuaciones diferenciales tales como:
  • Definición de Ecuación Diferencial. 
  • Definición de "Condición Inicial".
  • Definición de "Solución General de una E.D."
  • Definición de "Solución Particular de una E.D.".

mediante la resolución de los ejemplos 14 y 16 del archivo "CLASE 2 (Método de Sustitución - Aplicaciones)" antes referido.

Una síntesis teórica de estos conceptos podrán encontrarla en el "Resumen 2".
 
Para practicar lo correspondiente a la introducción hecha  al temario de Ecs. Diferenciales, sugiero que:
 
  • Revisen el ejemplo "Ejemplo - B" de Ejer-plos 1.
  • Resuelvan los Ejercicios 3 al 10 de Ejer-plos 1.
  • Resuelvan el "Ejemplo 15" del archivo "CLASE 2 (Método de Sustitución - Aplicaciones)" antes referido..

A continuación, un video para reforzar algunos aspectos que tocamos muy superficialmente durante la clase...


     
    Para los que quieran adelantar e ir trabajando lo que revisaremos la clase que viene, estudien con cuidado los Ejemplos C y D de Ejer-plos 1... y póngase a prueba a prueba sobre la comprensión de los mismos, resolviendo los Ejercicios 13 y 19 de Ejer-plos 1.


    Constancia es el secreto para el éxito en esta asignatura... así que a trabajar con disciplina!!
     

    lunes, 5 de enero de 2015

    ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN - LA INTEGRAL INDEFINIDA


    Saludos a todas y todos....

    Les reitero la más cordial bienvenida a este nuevo trimestre y al curso de Matemáticas II que dictamos en la Universidad Metropolitana de Caracas.

    Les insisto que el temario del curso y el Plan de evaluación del mismo están contenidos en el archivo "Cronograma Matematicas II (1415-2)" el cual encontrarán en los archivos disponibles en la columna derecha de este blog, en el gadget "CRONOGRAMA Y LISTA"...en el mismo sector tienen a disposición el listado de estudiantes de nuestra sección, verifiquen que aparecen registrados allí y de no ser así, pasen por control de estudios a regularizar esa situación.

    Por favor, recuerden imprimir el "Resumen 1", material que encontrarán en este mismo blog en los archivos disponibles en la columna derecha, en el gadget "RESÚMENES"; y que será utilizado constantemente en el aula.

    Así mismo, es importante que tengan a disposición para consulta rápida, el material "Ejer-plos 1", el cual encontrarán en el gadget "MATERIALES CORTE 1" de este blog.
     
     
    El día de hoy:
     
    1. Revisamos el concepto de la "Antiderivada más general de una función", definición que podrán encontrar en el "Resumen 1".
    2. Calculamos la antiderivada más general de funciones concretas mediante la aplicación del formulario del resumen 1.
    3. Constatamos que en ocasiones el formulario no es posible aplicarlo de forma directa, requiriéndose la adaptación de la función a integrar a dicho formulario, mediante procesos de álgebra básica como el desarrollo de productos notables y propiedades de potencias entre otros.
    4. Lo antes indicado fue desarrollado mediante la resolución de los ejemplos 1 y 2 que aparecen en el archivo "CLASE 1 (Introduc Antiderivada)" el cual podrán encontrar en el gadget "MATERIALES CORTE 1" en la carpeta "CLASES CORTE 1" 


    A modo de tarea:

    1. Resolver los Ejemplos 2c, 2d y el Ejemplo 3 del archivo el archivo "CLASE 1 (Introduc Antiderivada)".
    2. Enfrenten el "Ejercicio I (1 al 17)" de los problemas del archivo "GUIA INTEGRALES.pdf" que podrán encontrar en el gadget "MATERIALES CORTE 1", en la carpeta "TRABAJO AUTÓNOMO CORTE 1".
    3. Por favor revisen los problemas asignados como ejercicios para este tema...podrán encontrar las referencias en el archivo"Sug Trabajo Autónomo MAT II (Corte 1).pdf" el cual podrán encontrar en el gadget "MATERIALES CORTE 1" de este blog, en la carpeta "TRABAJO AUTÓNOMO CORTE 1".

    El siguiente video les muestra la solución de un ejemplito muy a tono con lo revisado durante nuestra primera clase... los reto a que al iniciar el video, se planteen el problema propuesto por el chamo, lo paren, y traten de hacerlo antes de ver la solución que se propone....




    Y acá, otro video para complementar.






    Trabajar duro desde el principio será la clave del éxito, así que a darle!!