BIENVENIDA

. . .. . . acá encontrarás diversos materiales relacionados con el curso de matemáticas 2 que actualmente dicto en la Universidad Metropolitana de Caracas . . .

miércoles, 28 de septiembre de 2016

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA - CONTINUACIÓN


En la clase de hoy:

  • Continuamos con el tema del cálculo del área de una región plana: en particular revisamos cómo plantear integrales definidas particionando tanto en intervalos sobre el eje "y" como sobre el eje "x" y las posibles ventajas de un enfóque respecto a otro.

  • El ejemplo 1 del archivo "CLASE 6 (Calculo de áreas y derrames 1617-1)" contiene un análisis en detalle de lo antes referido y de lo hecho en clase...
  • No nos dio tiempo de revisar el Ejemplo 2... en la parte (b) de dicho ejemplo 2, del referido archivo, se retoma el análisis de una problemática similar al "modelo de derrames" que presentamos las últimas dos clases pero con otro contexto... revísenlos con cuidado.
  • Recuerden que en el archivo antes mencionado, tienen una tarea planteada como es costumbre.

Con el tema del cálculo de áreas, hemos concluido el temario a evaluar en el Examen Parcial 1, el cual realizaremos el próximo miércoles 05 de octubre de 2016.

Insisto en sugerirles que estudien cuidadosamente el Ejemplo -D del material Ejer-plos 1 y traten de enfrentar los ejercicios 17 al 26 de este mismo material.

Por favor enfrenten contra reloj, 
a modo de simulacro, 
el Parcial 1 del trimestre pasado.

A trabajar con disciplina para que tengan éxito en el Parcial 1.


lunes, 26 de septiembre de 2016

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA



En la clase de hoy revisamos en primer término:
  1. La notación "Sumatoria" que involucra el concepto de Suma de Riemann
  2. El concepto de la "Integral definida" como el límite al infinito de la Suma de Riemann de orden "n".
  3. Estos planteamientos notacionales los formulamos bajo el contexto del último ejemplo resuelto en la clase del pasado miércoles: el modelo de derrames.
  4. Resolvimos otro ejemplo relativo al Modelo de derrames; el "Ejemplo 1" de la clase, el cual podrán encontrar en el gadget "MATERIALES CORTE 1", en el archivo 
"ClASE 5 (TFC y Calculo de áreas 1617-1).pdf".


En segundo término estudiamos:

cómo plantear una integral definida que permita calcular el área de una región plana delimitada por curvas en un sistema de coordenadas cartesiano.

En el segundo ejemplo propuesto en clase consideramos la región del plano limitada por y = 4x - x2 y y = 0.

Para esta región nos propusimos:
  1. El cálculo aproximado del área mediante una Suma de Riemann de orden 5.
  2. El cálculo exacto del área de la región, planteando una integral definida con "x" en [0,4].
Les quedó pendiente a modo de terea un tercer ejemplo correspondiente a la región del plano limitada por: y = x + 2    y   x =  y2  -9
  
El archivo "ClASE 5 (TFC y Calculo de áreas 1617-1).pdf"  ya mencionado, contiene el análisis en detalle de lo antes referido... por favor revisen ésta última solución con detenimiento.


Qué hacer para reforzar lo visto en la clase de hoy:

  1. Hacer la tarea que aparece en el archivo "ClASE 5 (TFC y Calculo de áreas 1617-1).pdf"
  2. Estudiar cuidadosamente el Ejemplo -D del material Ejer-plos 1
  3. Enfrentar los ejercicios 17 al 26 del material l Ejer-plos 1.



El siguiente video 
puede servir para complementar los elementos relativos al cálculo de áreas de regiones planas mediante integrales definidas...


.


Tengan en cuenta que el profesor que hace la presentación en el video, no justifica la integral que propone (la plantea de forma directa) y en nuestro caso, tal planteamiento debe ser hecho, es decir, se espera que ustedes justifiquen, mediante Sumas de Riemann de orden "n", la integral definida que permite el cálculo del área... los invito pues, a que complementen lo que nuestro amigo virtual propone.



miércoles, 21 de septiembre de 2016

SUMAS DE RIEMANN Y T.F.C.




Comencemos con algo de historia:




En la clase de hoy:
1.   Después de resolver otro ejercicio relativo al tema de Ecs. Dif., comenzamos el estudio de un temario nuevo, el correspondiente a "Sumas de Riemann"... los elementos fundamentales relativos a éste concepto que revisamos en la clase fueron los siguientes:
  •  La consideración de una partición del intervalo en estudio según el orden de la Suma de Riemann.
  • La consideración de un punto representante para cada uno de los subintervalos obtenidos en la partición, los denominados puntos muestra.
  • La consideración de que la función involucrada se asume constante en cada subintervalo y dada por su valor en el punto muestra respectivo.
  • El planteamiento de la Suma de Riemann.



2. Éstos conceptos fueron revisados mediante la resolución de las partes (a) y (b) del "Ejemplo 2" que aparece en el archivo "ClASE 4 (Sumas de Riemann - T F C 1617-1)" que se encuentra en el gadget "MATERIALES CORTE 1" en la carpeta "CLASES CORTE 1" de este blog.

3. Luego consideramos, en el ejemplo mencionado, una tercera parte (c) donde abordamos el cálculo exacto de la cantidad de agua que escapa del recipiente durante los primeros 2 minutos; lo cual nos llevó a considerar una partición de “n” subintervalos y al límite cuando "n" tiende al infinito de la una Suma de Riemann de orden "n".

4. Finalmente establecimos que el límite referido se obtiene aplicando el llamado Teorema Fundamental del Cálculo (T.F.C.).

5. De acuerdo a lo estudiado en la clase anterior (la del pasado lunes), la parte (c) del ejemplo se puede resolver también mediante el planteamiento de un P.V.I.

Para efectos de practicar este nuevo temario


  1. Aborden la revisión del "Ejemplo 3" de la "Clase 4" el cual quedó pendiente, así como los dos ejercicios que asigno como tarea en el mismo archivo de la Clase 4.
  2. Revisen el Ejemplo – F  del material Ejer-plos 1.
  3. Hagan como mínimo los Ejercicios 30, 31 y 50  del material Ejer-plos 1.
  4. Si quieren ejercitar más, centren el esfuerzo sólo en los Ejercicios 1 al 14, 17 al 21, 23 al 26, 28 al 31  del material Ejer-plos 1.
A propósito del temario en estudio, y continuando con algo de historia, les presento a:


                                              
                               Georg Friedrich Bernhard Riemann (Alemania 1826 - Italia 1866)


Georg Friedrich Bernhard Riemann fue un importante matemático alemán del siglo XIX que realizó trascendentes contribuciones en ramas de la matemática como el Análisis y la Geometría diferencial, que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la Teoría de la Relatividad General.


En la clase del próximo lunes:
veremos cómo calcular el área de una región plana mediante el planteamiento de integrales definidas.
A trabajar duro!!




lunes, 19 de septiembre de 2016

ECUACIONES DIFERENCIALES - CONCEPTOS BÁSICOS


En la clase de hoy revisamos:

conceptos básicos relacionados con las Ecuaciones diferenciales tales como:
  • Definición de Ecuación Diferencial. 
  • Definición de "Condición Inicial".
  • Definición de "Problema de Valor Inicial" (P.V.I.)
  • Definición de "Solución General de una E.D."
  • Definición de "Solución Particular de una E.D.".

mediante la resolución de cuatro ejemplos concretos que podrán encontrar en el archivo 


"ClASE 3 (Ecs Dif - Aplicaciones 1617-1)" 

el archivo en mención lo conseguirán en el gadget "MATERIALES CORTE 1" de este blog en la carpeta "CLASES CORTE 1".



En el Ejemplo 3 del archivo antes referido revisamos 
  • Un típico "Problema de derrame", problemática de especial importancia dentro de nuestro curso.
  • La derivada como razón de cambio y el significado de su signo dentro del contexto considerado.
  • Les pedí que resolvieran el mismo problema considerando como variable aquella que mide la cantidad de líquido fuera del recipiente... deberán obtener los mismos resultados.
Para efectos de practicar problemáticas similares a la del Ejemplo 3, sugiero que trabajen:

  • La terea del archivo "ClASE 3 (Ecs Dif - Aplicaciones 1617-1)"
  • Los Ejemplos - B  y  C  de EJER-PLOS 1 y los Ejercicios de EJER-PLOS 1: 13, 14, 48, 50, 52 y 53.



En relación al Ejemplo 4 del mismo archivo:
En este problema son de especial interés conceptos tales como:
  • Proporcionalidad directa
  • Proporcionalidad inversa
  • Derivada como razón de cambio. 
En el "Resumen 2" tienen una síntesis teórica relacionada con estos conceptos. 


En el caso de la Sección de las 7:00 a.m. quedó pendiente este ejemplo completo; traten de entender la solución que propongo en el archivo ClASE 3 (Ecs Dif - Aplicaciones 1617-1). ... Recuerden que quedamos en vernos el miércoles 21 a las 6:45 a.m.

Para la Sección de las 8:45 a.m. quedó pendiente la parte final del problema... 




Para efectos de practicar problemáticas similares a la del Ejemplo 4, sugiero que trabajen del material EJER-PLOS 1 los Ejercicios:

18 al 26, 43, 44, 47, 49, 57, 59, 62, 64, 69 y 71.


A continuación un video  para reforzar  diversos aspectos tocados durante la clase...



















miércoles, 14 de septiembre de 2016

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN - CONTINUACIÓN

Saludos a todas y todos...

En la clase de hoy continuamos revisando el llamado "Método de Sustitución" mediante la resolución de ejemplos específicos que podrán encontrar en el archivo

 "CLASE 2 (Método de Sustitución - Aplicaciones 1617-1)"

localizable en el gadget "MATERIALES CORTE 1" en la carpeta "CLASES CORTE 1"... Al final de la clase, resolvimos un problema donde aplicamos los conceptos revisados a un contexto geométrico (contexto relacionado con la pendiente de una recta tangente).



Para practicar lo correspondiente a este temario sugiero que resuelvan:
  • Los dos o tres ejemplos del archivo "CLASE 2 (Método de Sustitución - Aplicaciones 1617-1)" que quedaron sin resolver.
  • La tarea asignada en el archivo antes mencionado.
  • El Ejercicio 2 de Ejer-plos 1 que encontrarán en el gadget "MATERILAES CORTE 1".
  • El Ejercicio II del archivo "GUIA INTEGRALES.pdf" que encontrarán en el gadget "MATERILAES CORTE 1", en la carpeta "TRABAJO AUTÓNOMO".  


A continuación,algunos videos que permitirán reforzar diversos aspectos tocados durante la clase...





    Para los que quieran adelantar e ir trabajando lo que revisaremos la clase que viene, estudien con cuidado los Ejemplos C y D de Ejer-plos 1... y póngase a prueba  sobre la comprensión de los mismos, resolviendo los Ejercicios 13 y 19 de Ejer-plos 1.


    Constancia es el secreto para el éxito en esta asignatura...
     así que a trabajar con disciplina!!

    lunes, 12 de septiembre de 2016

    ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN Y LA INTEGRAL INDEFINIDA

    Saludos a mis nuevos estudiantes de Matemáticas II de la Universidad Metropolitana...

    Para efectos de comenzar con buen pie nuestro curso de Matemáticas II revisen este blog y los materiales del curso de Matemáticas II para el nuevo período 1617-1...

    Todos los archivos ya fueron actualizados, los encontrarán en este sitio en los gadgets de la columna derecha.

    En el gadget "CRONOGRAMA Y LISTA" tienen a disposición el


    "Cronograma Matemáticas II (BPTMI02 1617-1)"


    con todos los detalles relativos al plan de evaluación del curso; así mismo podrán encontrar la lista de los estudiantes inscritos a la fecha en los archivos:


    "NOTAS MATEMATICA II Sección 1 (1617-1)"


    "NOTAS MATEMATICA II Sección 1 (1617-1)"


    por favor verifiquen que aparecen registrados en alguna de estas listas y de no ser así, pasen por control de estudios a regularizar esa situación.

    Por favor, traten de tener a mano el "Resumen 1", material que encontrarán en este blog en los archivos disponibles en la columna derecha, en el gadget "RESÚMENES"; y que será utilizado constantemente en el aula.


    Así mismo, es importante que tengan a disposición para consulta rápida, el material "Ejer-plos 1", el cual encontrarán en el gadget "MATERIALES CORTE 1" de este blog.


    El día de hoy:

    1. Revisamos el concepto de la "Antiderivada más general de una función", definición que podrán encontrar en el "Resumen 1".
    2. Establecimos cómo verificar si una función es o no la antiderivada de otra. 
    3. Calculamos la antiderivada más general de varias funciones concretas mediante la aplicación del formulario del resumen 1.
    4. Al final de la clase revisamos cómo aplicar el llamado "Método de Sustitución" para buscar la antiderivada más general de una función.
    5. Lo antes indicado fue desarrollado mediante la resolución de ejemplos concretos todos los cuales aparecen en el archivo "CLASES 1 (Antiderivada y Met Sustitucion 1617-1)" el cual podrán encontrar en el gadget "MATERIALES CORTE 1" en la carpeta "CLASES CORTE 1" 

    A modo de tarea:
    1. Resolver los Ejemplos 3b y 4 del archivo el archivo "CLASES 1 (Antiderivada y Met Sustitucion 1617-1)"  los cuales quedaron pendientes.
    2. Enfrentar la tarea que aparece en el archivo el archivo "CLASES 1 (Antiderivada y Met Sustitucion 1617-1)"
    3. Si les queda gasolina: enfrentar los ejercicios de la "Parte-i" del archivo "Guia Integrales Corte 1.pdf" que podrán encontrar en el gadget "MATERIALES CORTE 1", en la carpeta "TRABAJO AUTÓNOMO CORTE 1".
    4. Si todavía hay más entusiasmo: enfrenten el Ejercicio 2 de Ejer-plos 1 que encontrarán en el gadget "MATERILAES CORTE 1".
    5. Finalmente, si se puede, enfrentar los ejercicios de la "Parte-ii" del archivo "Guia Integrales Corte 1.pdf" que podrán encontrar en el gadget "MATERIALES CORTE 1", en la carpeta "TRABAJO AUTÓNOMO CORTE 1".


    Algunos videos de apoyo:

    El siguiente video les muestra la solución de un ejemplito muy a tono con lo revisado durante nuestra primera clase... los reto a que al iniciar el video, se planteen el problema propuesto por el chamo, lo paren, y traten de hacerlo antes de ver la solución que se propone....




    Y acá, otro video para complementar.






    Y acá, otro...






    Trabajar duro desde el principio será la clave del éxito, así que a darle!!

    viernes, 9 de septiembre de 2016

    BIENVENIDA AL TRIMESTRE 1617-1

    Saludos a mis nuevos estudiantes de Matemáticas II en la Universidad Metropolitana...

    Para efectos de comenzar con buen pie nuestro curso de Matemáticas II el próximo 12 de septiembre de 2016, vayan revisando este blog y los materiales del curso de Matemáticas II para el nuevo período 1617-1...

    Todos los archivos ya fueron actualizados, los encontrarán en este sitio en los gadgets de la columna derecha.

    En el gadget "CRONOGRAMA Y LISTA" tienen a disposición el


    "Cronograma Matemáticas II (BPTMI02 1617-1)"

    con todos los detalles relativos al plan de evaluación del curso; así mismo podrán encontrar la lista de los estudiantes inscritos a la fecha en los archivos:


    "NOTAS MATEMATICA II Sección 1 (1617-1)"


    "NOTAS MATEMATICA II Sección 4 (1617-1)"

    por favor verifiquen que aparecen registrados en alguna de estas listas y de no ser así, pasen por control de estudios a regularizar esa situación.


    Les deseo éxito en este nuevo reto y los invito a que de manera positiva y activa lo emprendan; el secreto fundamental es el trabajo y la constancia. .

    Los dejo con algo de historia acerca de los temas que han estado estudiando y seguirán haciéndolo en los trimestres próximos, que los disfruten...